Les pavages islamiques et les mathématiques modernes entretiennent un lien que les chercheurs n’ont pleinement compris qu’à la fin du XXe siècle. En 2007, le physicien Peter Lu et le mathématicien Paul Steinhardt publient dans la revue Science une découverte stupéfiante : des artisans islamiques du XVe siècle avaient construit, sur les façades du Darb-i Imam à Ispahan, des pavages quasi-périodiques identiques aux pavages de Penrose — redécouverts par les mathématiciens occidentaux en 1974. Cinq siècles d’avance. Ce guide explore comment les artisans islamiques ont anticipé la géométrie moderne et pourquoi leurs créations continuent de fasciner les mathématiciens.
Pavages islamiques : définition et principes de base
Un pavage (ou tessellation) est le recouvrement complet d’une surface plane par des polygones, sans superposition ni lacune. Les artisans islamiques ont développé, à partir du IXe siècle, une maîtrise exceptionnelle des pavages basés sur des symétries de rotation à 4, 6, 8, 10 et 12 branches — soit pratiquement toutes les symétries que la géométrie euclidienne considère comme « licites » pour les pavages périodiques. Leur outil fondamental est le compas et la règle non graduée, avec lesquels ils construisent les figures de base par divisions successives du cercle.
Les motifs géométriques islamiques islamiques les plus courants — l’étoile à 6, 8 ou 12 branches entourée d’hexagones, de carrés ou de losanges — sont tous des pavages périodiques au sens mathématique strict : ils se répètent par translation dans deux directions indépendantes, formant un réseau régulier infini. C’est cette propriété de répétition parfaite qui rend ces motifs si adaptés à la décoration architecturale — une frise peut s’étendre à l’infini sur un mur sans que la répétition ne devienne visible à l’œil nu à quelques mètres de distance.
Les girih : la clé des pavages complexes à 10 plis
Le terme girih (nœud, en persan) désigne un système de pavage islamique basé sur cinq polygones élémentaires : le décagone régulier, le pentagone régulier, le losange, le papillon (hexagone irrégulier à symétrie bilatérale) et la bowtie (hexagone en nœud papillon). Ces cinq pièces, assemblées selon des règles strictes d’adjacence, permettent de construire une variété quasi infinie de motifs différents, tous fondés sur des symétries à 5 et 10 branches.
C’est précisément ce système girih que Peter Lu identifie sur les façades du Darb-i Imam d’Ispahan (1453). Ce que les artisans avaient réalisé à cette date, intuitivement ou par règles empiriques codifiées dans des manuels aujourd’hui perdus, c’est un pavage quasi-périodique : un motif qui remplit le plan entier sans jamais exactement se répéter. En cela, ils avaient anticipé les travaux de Roger Penrose (1974) et les quasi-cristaux dont la découverte vaudra à Dan Shechtman le prix Nobel de chimie en 2011.
Les 17 groupes de symétrie et l’Alhambra
La théorie mathématique des groupes de symétrie planaire distingue exactement 17 types de symétrie possibles pour les pavages périodiques (les « 17 groupes wallpaper »). L’Alhambra de Grenade — chef-d’œuvre de la dynastie nasride (XIIIe-XIVe siècles) — illustre, selon plusieurs mathématiciens, les 17 groupes dans ses décorations de zellige et de stuc, bien que ce chiffre reste débattu. Ce que l’Alhambra démontre sans contestation, c’est la maîtrise exhaustive de la symétrie par les artisans andalous — une maîtrise que notre article sur les motifs géométriques islamiques explore en détail.
Comment les artisans construisaient-ils ces pavages ?
La question des outils et méthodes utilisés par les artisans islamiques fascine les historiens des sciences. Plusieurs indices convergent : les traités d’architecture médiévaux (dont l’Interlocking Figures attribué à Abu Bakr al-Khalid al-Tajir, XIIe siècle) décrivent des méthodes de construction géométrique au compas. Des manuscrits techniques iraniens des XIIIe-XVe siècles montrent des diagrammes de construction pour des motifs à 5 et 10 plis. Les artisans travaillaient probablement sur des cartons (patrons en papier à grande échelle) qu’ils reproduisaient ensuite sur les supports définitifs.
La fabrication des carreaux de zellige — découpés à la main un par un depuis des carreaux émaillés — exige une précision millimétriqe compatible avec ces méthodes. Le zellige marocain marocain contemporain utilise encore des techniques de découpe manuelle qui n’ont pas fondamentalement changé depuis le XIIe siècle, bien que la table lumineuse remplace parfois le carton de construction traditionnel.
Pavages islamiques et sciences modernes : le dialogue continue
Depuis la publication de Peter Lu et Steinhardt en 2007, la recherche sur les pavages islamiques a considérablement avancé. Des mathématiciens comme Emil Makovicky (Copenhague) ont analysé des centaines de motifs dans les monuments d’Iran, d’Anatolie, d’Asie centrale et d’Al-Andalus pour cartographier la distribution géographique et chronologique des différents types de symétrie. Des informaticiens développent des logiciels de reconstruction de motifs islamiques (PloTPattern, Taprats, le plugin Arabesq pour Geogebra) qui permettent de reproduire ou d’inventer de nouveaux motifs en respectant les contraintes géométriques classiques.
Ces outils permettent aussi de mieux comprendre les muqarnas — ces stalactites en plâtre sculpté tridimensionnelles qui ornent les coupoles des mosquées — dont la géométrie complexe mobilise des symétries analogues à celles des pavages plans, mais étendues à la troisième dimension.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un pavage islamique ?
Un pavage islamique est un motif géométrique qui recouvre entièrement une surface plane sans lacune ni superposition, fondé sur des symétries de rotation caractéristiques de l’art islamique (6, 8, 10 ou 12 branches). Ces pavages ornent les façades de mosquées, les carreaux de zellige, les stucs sculptés et les tapis depuis le IXe siècle. Certains d’entre eux sont des pavages quasi-périodiques anticipant des structures mathématiques redécouvertes au XXe siècle.
Les artisans islamiques connaissaient-ils les mathématiques modernes ?
Pas dans le sens formel moderne, mais leur pratique géométrique empirique les a conduits à construire des structures mathématiquement équivalentes aux quasi-cristaux et aux pavages de Penrose. Ils utilisaient des règles de construction au compas et des patrons empiriques transmis de maître à apprenti, sans nécessairement formuler les théorèmes sous-jacents. C’est une forme de connaissance procédurale qui a produit des résultats que la théorie formelle n’a rejoint que cinq siècles plus tard.
Comment construire un pavage islamique soi-même ?
La méthode classique commence par diviser un cercle en n parties égales au compas (n = 6, 8, 10, 12 selon le type de symétrie voulu), puis construire l’étoile centrale par connexion des points de division selon des règles d’angle prédéfinies. Les logiciels Geogebra (avec le plugin Arabesq) et Taprats permettent de construire des pavages islamiques de manière interactive. Des livres comme Islamic Geometric Patterns de Keith Critchlow ou Arabesque de John Bourgoin offrent des modèles de progression pédagogique.
Conclusion
Les pavages islamiques sont bien plus que de la décoration : ils sont le témoignage d’une pensée géométrique avancée, développée par des artisans dont les outils étaient le compas, la règle et l’intuition, mais dont les résultats rivalisent avec les découvertes mathématiques du XXe siècle. Pour explorer ces motifs dans leur contexte architectural vivant, les collections du Institut du Monde Arabe à Paris proposent d’admirables exemples de zellige, de stuc et de bois sculpté qui matérialisent cette géométrie.